大学３年初期に知っておきたかった弾性力学のこと１

はじめに
目的
結論
弾性力学（１~３章）
再度結論
材料力学との対応例
文献

はじめに

始めてブログを書くにあたって，とりあえずみんな知ってそうなもので少しは役立ちそうなものがいいなと思ったので弾性力学のことについてつらつらと書こうかなと思います．

材料力学と弾性力学との違い

正確な定義がわからないのですが，弾性力学は応力とひずみ間に線形関係が成り立つ物体の解析のための学問，材料力学は弾性力学の内容を現実の構造物設計で簡単に扱うために抜粋したものという印象があります．高校物理と大学１年時の物理といった関係に似たような感じがします．

大学３年時の弾性力学

大学３年時の弾性力学の授業は３回目くらいから「写経→よく分からない→写経→休憩でスマホ」のループに入り，過去問を何となく解いて何となく試験を終えてつまり弾性力学は何だったんだろう？？となる人が大半だと思います．僕がそうだったのでみんなそうだと勝手に思ってます．今もそうですが，何も分からなかった状態が少しは何となくわかった気になる状態になったので３年時にこういう背景知っておけば多少理解できたのかもしれない（聞いてなかっただけで言っていたのかもしれない）といった内容を書いていきます．

誰向けの記事か

弾性力学を履修したが僕と同じ状態に陥った大学３年生あるいは４年生向け．記事も履修していることを前提とした書き方となっているため定義などあまり詳しく書いてないです．ただこの記事を読みそうな人は同学科同学年の某試験を経て弾性力学への理解が多少深まった４年生の少数くらいしかいなさそうです．

つまるところ

誰の役にも立たない備忘録です．

目的

・弾性力学講義１~３章で何言ってるのかなんとなく知る．

・材料力学と弾性力学がなんとなく結びつかないことの解決．

結論

何が言いたいかというとこの図だけです．

f:id:y-d-spast-impe1:20171222011128p:plain — 弾性方程式まとめ

この関係で応力，ひずみ，変位が求まるねという話．

弾性力学（１~３章）

１章：応力の解析，２章：ひずみの解析，３章：応力ひずみ関係式と弾性方程式について扱います．

応力と平衡方程式

応力の定義

応力ベクトルとは，外力作用のもと平衡状態にある物体をある面で切断したとき，その面のうち微小面積要素に働く内力のことをいいます．面に垂直方向成分を垂直応力 $\sigma$ ，平行方向成分を剪断応力 $\tau$ といいます．

ある点における応力状態は

と９つの成分で（応力テンソル）表されます（テンソルの説明は省略）．ここで $τ_{yx}= τ_{xy}$ , $τ_{zx}= τ_{xz}$ , $τ_{zy}= τ_{yz}$ が微小要素のモーメントの釣り合いから導けるため結局６つの成分がわかればその点の応力状態がわかるということになります．

平衡方程式

微小要素の釣り合いを考えることで $x, y, z$ 軸方向に対して以下の３式が導けます．

$\frac{\partial σ_x}{\partial x} + \frac{\partial τ_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{zx}}{\partial z} + X = 0$

$\frac{\partial τ_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{zy}}{\partial z} + Y = 0$

$\frac{\partial τ_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial σ_{z}}{\partial z} + Z = 0$

$X, Y, Z$ は単位体積当たりの物体力（重力のように物体内部に直接作用する外力）です．未知数の応力成分６に対して式は３つなのでこれだけでは応力は求まりません．なので変形などを考える必要があります．

ひずみと変位表示式と適合条件式

ひずみの定義（変位表示式）

ひずみは垂直ひずみ $\epsilon$ と剪断ひずみ $\gamma$ があり，垂直ひずみはある点と軸方向にある近傍点の変形量をもとの長さで乗じた値，剪断ひずみはある点と２軸方向の近傍２点（ある点中心になす角90°）の角度変化量で定義され， $x, y, z$ 軸方向の変位を $u, v, w$ と置くと，微小変形の場合

$\epsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$

$\epsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\epsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z}$

$\gamma_{xy}= \gamma_{yx}= \frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}$

$\gamma_{yz}= \gamma_{zy}= \frac{\partial w}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial z}$

$\gamma_{zx}= \gamma_{xz}= \frac{\partial u}{\partial z} +\frac{\partial w}{\partial x}$

で表されます．これを変位表示式といいます．

ひずみの成分もテンソル表記で

と未知数６個で表されます． $\frac{1}{2}$ がついてるのはごちゃごちゃ計算するとそうなるのでそういうものとしといて下さい．

変位の未知数３個と合わせると未知数は９個，対して定義から導かれる変位表示式は６つとまた式が３つ足りない状態になっています．なのでまだ別の式を考えないとなりません．

適合条件式

式が足りない問題の前に，先の６つの方程式に着目すると，たとえばある点でのひずみ成分６つが定まった時には変位は $u, v, w$ と１通り（１価の変位）に定まるはずですが，３つの変位 $u, v, w$ に対して方程式が６つあるため，積分により変位を求めようとすると一般的には一価に変位を求めることができません．なので，一価の変位を得るために６つのひずみが満たさなければならない必要十分条件（適合条件式）を考える必要があります．

これも詳細は省略しますが，ある点と近傍点との相対変位と偏微分の順序交換を考えることで以下の必要十分条件（適合条件式）が導かれます．

$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$

$\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z}$

$\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x}$

$2\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial }{\partial x}( -\frac{\partial \gamma_{yz}}{ \partial x} +\frac{\partial \gamma_{zx}}{ \partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{ \partial z} )$

$2\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z \partial x} = \frac{\partial }{\partial y}( \frac{\partial \gamma_{yz}}{ \partial x} -\frac{\partial \gamma_{zx}}{ \partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{ \partial z} )$

$2\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial }{\partial z}( \frac{\partial \gamma_{yz}}{ \partial x} +\frac{\partial \gamma_{zx}}{ \partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{ \partial z} )$

構成方程式（応力ひずみ関係式）

足りない式を補うために応力テンソルとひずみテンソルを結びつける方程式を考えます．応力成分６つとひずみ成分６つが線形関係にあるとする（線形弾性体）と，一般的に次のような線形関係式で表されます．

$c_{ij}$ は定数で，熱弾性は考慮していません．またまた導出を省略すると $\frac{\partial \sigma_x}{\epsilon_y} = \frac{\partial \sigma_y}{\epsilon_x}$ などが成り立つため，実際は

と21個の定数で表せます．軸まわりに180°回転しても性質が変わらないなどの条件を付加していくと定数の数がどんどん減っていき，弾性特性が各点でどの方向にも変わらないという等方性の場合

でと２つの定数のみで表されます．実用弾性定数としてヤング率 $E$ ，剪断弾性係数 $G$ ，ポアソン比 $\nu$ の３つを導入し，これらを用いて２つの定数を表すと

（但し $E=2(1+\nu)G$ ）

と表すことができます（表記をわかりやすくするために定数 $c_{ij}$ の行列が逆行列になっていることに注意）．ポアソン比などを考慮せず１次元のみで考えると $\sigma =E \epsilon$ ， $\tau = G \gamma$ などと材料力学でよくみた式が出てくることがわかります．

これで応力とひずみを関係づける６つの式が導出されました．応力とひずみの節で足りない式の数は６式だったので，これで理論上すべての未知数が求められることになります．これらの式に境界条件を与えることで，唯一解が求められます．

再度結論

弾性力学１～３章でやったこと：材料力学で出てきた応力，ひずみの厳密な定義とそれらの成分を求めるための関係式を考えた．

つまるところ次のような関係性があるわけです（図の数字は式，あるいは未知数の数を表している）．未知数として応力とひずみと変位の15個があり，応力と力を結びつける平衡方程式，ひずみと変位(変位表示式)を結びつける適合条件式，応力とひずみを結びつける構成方程式の３つの式と境界条件により未知数が求まる．これらの式を弾性問題の基礎方程式，すなわち弾性方程式といいます．

流れとしては，外力作用のもと平衡状態にある物体の

・応力成分（６個）求めたい

・平衡方程式（３式）

・３式足りない

・一方ひずみと変位も求めたい（９個）

・変位表示式（適合条件式）（６式）

・計６式足りない

・応力とひずみの関係式を考える（６式）

・無事方程式と未知数の数が一致

・理論上は解ける

という感じでしょうか．

ちなみに変位表示式と適合条件式のうち，変位表示式を用いると応力を変位で表した基礎方程式が導かれ，適合条件式を用いると変位を応力で表した基礎方程式が導かれます．変位を求めたいなら前者，応力を求めたいなら後者を用いるとよいでしょう．